量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了法师和奥术师们长达一百多年的争论。这就是第二次数学危机，又名“无穷小危机”。
后来，是柯西和魏尔斯特拉斯等一批奥术师，通过对数学分析一系列基本概念的精确定义，以及对分析的算术化，逐步解决了这次危机，恢复了数学的结构。
这次危机的意义，一是加速了分析数学的发展，使其成为了庞大的体系；二是彻底解下了微积分甚至数学上面神秘的面纱，冲破了魔法的束缚，为数学的独立发展创造了条件，也让普通人有机会成为奥术师。比如兰恩所在的小学，颇有一些头脑超人，但是资质一般或家境一般的同学，在小学毕业后直接去奥术学院就读。
第三次数学危机，也就是目前魔法界和奥术界正在经历的这次，却是由于集合论的悖论产生的。
它像第一次危机那样，突然出现。
在一个位于奥法联邦，名叫伯特兰·阿瑟的奥术师研究集合的时候，忽然发现了悖论。
关于这个悖论的阐述，最著名的是“理发师问题”。
一个理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？“如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
这就是这次危机的核心问题。
危机爆发时，距离大奥术师庞加莱的宣称“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了”才刚刚过去两年，属于赤裸裸的打脸。
直到如今，危机仍然在蔓延。
例如这篇论文，就是艾伦·麦席森奥术师在思考‘停机问题’——它和导致这次危机的悖论一样，属于自指——时，寻找这次数学危机解决方案的产物。
艾伦的天才之处在于，他的思考高屋建瓴。他首先考虑的是，是否所有数学问题都用解？如果这个问题不解决，辛辛苦苦解题，最后发现无解，一切的努力都是浪费时间和精力。
至于论文末尾提出的理想计算机器，则是这些思考的副产物。
“这样，经过通读所有这些相关的书籍，我就大致理清了这个世界上，往昔数学发展的脉络。至少是这篇论文所在的分支，虽然理解的仍太过粗浅。”兰恩揉着太阳穴想到
“如果文学构建了美学的大厦，那么构建理性大厦的，一定是数学。”
“要实现自己‘想看到更远一些的美妙风景’的愿望，成为大奥术师是必不可少的，而这个过程，就是自己攀登理性大厦的过程。”
放下揉太阳穴的手，兰恩将面前已经合上的书籍收了起来，移到一边。
他准备例行更换手头的事情，换换脑子。
学习和思考之余，兰恩经常会研究一些看起来更实用更有意思的事儿。而对这篇论文学习的告一段落，意味着他有了更多的时间鼓捣这些。
研究方式，主要是实验。
实验内容，他选择的是一些可以动手操作，还能有拓展思考的东西，譬如他很感兴趣的魔法符文。
尤其是……中继器。