以通过其他系统和方法给出证明。
其次，希尔伯特的梦想彻底破灭了，但我们收获的其实更多。对于数学界，哥德尔的证明过程和证明的主要手段感觉都并不是什么首创。但是累积的一点点不同，一点点灵活运用，对于其他科学活动的脑力激荡却是非常明显的。由于哥德尔在证明中发展的一些技术，也使数理逻辑成为一门具有自己独立技术和方法的数学分支。现在的数理逻辑，不管是公理集合论、模型论还是证明论、递归论都已经自成一家。就像代数拓扑学、算子代数、随机过程等学科，对于非本行专家来说，简直是难以理解的。而在数学之外，哥德尔的思想依然在闪光：一是配数法的运用，使得机器处理现实问题成为可能，因为机器只能处理抽象简单的计算问题，而“配数法”说明我们可以把现实问题变成简单的“数字”，这最终促成了计算机的发明；二是引发对于其他学科以及科学本质的思考。
在计算机领域，1961年美国哲学家鲁卡斯（johncas）在《哲学》杂志上发表《心、机器、哥德尔》，指出[18]：“依我看，哥德尔定理证明了机械论是错误的，也就是说，心（d）不能解释成机器。”因为“无论我们造出多么复杂的机器，只要它是机器，就将对应于一个形式系统，接着就能找到一个在该系统内不可证的公式而使之受到哥德尔构造不可判定命题那种程序的打击，机器不能把这个公式作为定理推导出来，但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心的一个恰当模型。人们总想制造心的一种机械模型，即从本质上是‘死’的模型，而心是‘活’的，它总能比任何形式的、僵死的系统干得好”。1989年，英国数学家、物理学家罗杰o彭罗斯（rorpenrose）写的《皇帝新脑——计算机、心智和物理定律》一书中，指出“意识是我们赖以理解数学真理的关键，这种意识使我们能够借直觉的洞察力‘看出’某些在数学形式系统中不能证明的数学命题的真理性，而这种意识是不能被形式化的，它必定是非算法的。因此计算机绝不可能超越人类心智，计算机不过是强人工智能专家所钟爱的一副‘皇帝新脑’而已”。这个问题有没有结论，其实还没有。所以，在斯梅尔（原美国数学会主席）提出的21世纪需要解决的24个数学问题中，第18个问题“人类智能的极限和人工智能的极限是什么？”依然明确指出“这个问题与哥德尔不完全性定理有关”。二十世纪六十年代，人工智能系统在复制人脑的某些关键方面似乎大有前途。通过使用数理逻辑，科学家开始重现和推理现实世界的知识，但是，很快这种方法沦为人工智能的枷锁。尽管数理逻辑在模拟人脑（解决问题）方面富有成效，但是它在本质上并不适合处理不确定性。
对于物理学的研究，哥德尔的思想是无法回避的想法。与数学中的哥德尔定理相对应，在量子力学领域我们可看到另一种不完全性——测不准原理。海森堡在《物理学和哲学》一书中指出：“微观物理学定律的统计本质是不能避免的，因为关于‘实际事物’的任何知识——根据量子论的定律——在其真正的本质上都是不完备的知识。[19]”也就是说，我们接受测不准原理，但其实根本上讲，还是因为我们知识的不完备。而这一根本，就在于，我们是作为宇宙的一部分，然后我们来理解宇宙本身。完全性可看作对整体世界的确定性描述，但当把描述者（人类）和被描述者（宇宙）作为一个整体来考察时，描述者却不能对这个包括自身在内的整体做完整地把握，原因也正在于描述者对被描述者的参与，对世界的描述直接构成世界的一部分。用霍金的话说“我们和我们的理论模型都是我们描述的宇宙的一部分[20]”。就像哥德尔的自指句，因而一个包括一切的理论永远不会被人们得到。所以霍金既执着追求终极理论也怀疑终极理论，因为要以有限数量的命题来阐述宇宙终极理论是不可能的，这和哥德尔不完备性定理非常相似。
最后，不完全性，告诉我们数学的极限。正如克莱因所说：“数学的确似乎是人造的、易犯错误的思想的产物，而不是独立于人的永恒世界中的东西；数学并不是建立在客观现实基础上的一座钢筋结构，而是人在思想领域中进行特别探索时，与人的玄想连在一起的蜘蛛网。[6]”不完全性，其实还揭示了一个问题：人类的思维是有限的，而知道了局限，才掌握了其本质：所以，此后数学大厦并不是因此而轰然倒塌，而是在各个具体的领域中，高楼林立。现实中，我们遇到的很多复杂而且非规律、非必然的问题，但是数学家发展出了“统计学”“概率论”“分形”“机械计算”这些新的方法。这正说明了知道“不可能”，才是创造“可能”的基石。
注释[1]引自《数学与文化》齐民友著湖南教育出版社1991[2]摩尔定律相关描述，整理自《it史记3》方兴东王俊秀著中信出版社2004[3]希尔伯特的话，出自希尔伯特在1925年为纪念数学家卡尔o维尔斯特拉斯做的演讲——《论无穷》。
[4]引自胡作玄的《第三次数学危机》四川人民出版社1985[5]引自《科学大师启蒙文库o牛顿》孙启贵邓欣著徐飞编，上海交通大学出版2007[6]“柯西”资料为沈永欢撰写，引自《世界著名数学家传记》吴文俊主编科学出版社2003[7]超限数：超越数是实数，但它不是任何有理系数的多项式方程的解。要证明一个给定的实数是超越数（例如π就是这样的数），是相当困难的，但是存在超越数而且数量众多，这个事实去很容易用无限的基数加以证明。证明的方法如下：实数的数目总共是1，而有理系数的多项式方程却只有0，其中每一个又只有有限个解——因此，总共只有0个实数不是超越数。因为0≠1，所以有的实数一定是超越数，实际有1那么多个超越数。（读作“阿列夫”，我们把有限基数的全体组成的集合{1，2，3，4，…}取作标准的0集合。远远超过0，我们把记作1）——《无限数》[英]gdh库珀著刘远图译科学出版社1986[8]据称是希尔伯特讲的，这里主要依据这里根据胡作玄的《第三次数学危机》，结合其他资料进行了简化，而其中谈到的对角线法，则采用了“维基百科”的表述。
[9]引自《世界数学史》杜石然、孔国平编吉林教育出版社2009[10]引自《数学：确定性的丧失》（美）o克莱因著李宏魁译湖南科学技术出版社2007[11]引自《西方文化中的数学》[美]莫里斯o克莱因（orriskle）著张祖贵译复旦大学出版社2005[12]引自刘晓力的论文《哥德尔定理及其哲学义蕴》，《现代科学哲学争论》2003年第7期[13]对于一阶逻辑暂时没有具体的概念。但是从下面丽贝卡o戈德斯坦的描述，我们可以理解其具体的意思：“清晰逻辑根据句子的共同逻辑形式将所有的句子分类，去掉特定谓词和主词的全部意义，只剩下裸的逻辑。非逻辑项一去掉，剩下的项就指特定或任意的客体、谓词以及它们之间的关系。”（《不完备性》（美）丽贝卡o戈德斯坦著唐璐译湖南科学技术出版社2008）也就是说，它考虑的只是a是b，a等于b之类的抽象的逻辑。具体演算符号可以参考本书“附录1计算机与人工智能”中“14弗雷格与一阶逻辑”的内容。
一阶逻辑与其他逻辑分支相比，一阶逻辑所考虑的句子是最简单的。这些句子最重要的特征是，它们之间的逻辑蕴涵关系可以用数学语言精确地定义。其他逻辑学分支，如模态逻辑、道义逻辑、认知逻辑等等，它们所考虑的句子范围，都比一阶逻辑的要大些，是在一阶逻辑的基础上，再考虑一些其他类型的句子。因此，一阶逻辑是其他一些逻辑分支的基础。目前我们还不能明确地描述一阶逻辑所考虑的句子范围。但可以指出，它实际上包括了所有那些可精确地表达数学或自然科学命题的句子，也包括了日常语言中那些纯描述性的句子……（《一阶逻辑与一阶理论》叶峰编著中国社会科学出版社1994）
[14]《哥德尔不完全性定理》朱水林辽宁教育出版社1987[15]这段表述整理自《哥德尔证明》。另“质数分解定理”是按原书翻译，可能为印刷错误。其他一般翻译为“质因数分解定理”：每一个大于1的整数都能分解成质因数乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排列在一起，相同的因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的。《哥德尔证明》（美）欧内斯特o内格尔和詹姆士oro纽曼著陈东威等译中国人民大学出版社2008[16]引自《哥德尔证明》[美]欧内斯特o内格尔和詹姆士oro纽曼著陈东威等译中国人民大学出版社2008[17]引自王剑、武海蓬的论文《纪年哥德尔诞辰一百周年！哥德尔：数学和逻辑领域中的跋涉者》，《台湾数学教师电子期刊》2006年第七期[18]鲁卡斯、彭罗斯、斯梅尔的言论均转引自《哥德尔定理及其哲学义蕴》，刘晓力《现代科学哲学争论》2003年第7期[19]引自《物理学和哲学》[德]wo海森伯（也译海森堡）范岱年译商务印书馆1981[20]原句：weandourodels，arebothpartoftheuniversewearedescribg——《哥德尔和物理学的终结》霍金2004年1月在英国剑桥大学举行的讲座，凌高摘译爱思想网http：wen2
正文 一、柯菲邮件
2013年8月16日的早晨，我打开电子邮箱，想看看自己投的稿到底有没有回复。没想到收到一封奇怪的eail。开始我还以为是垃圾邮件，但没想到是自己寄给自己的邮件。打开一看，更是令我受到不小的惊吓。
“你好。一直都在用你的邮箱，不好意思。当然，当你收到这封信时，我很可能已经不在这个世界上了。因为我接触到一个深不见底的世界……这就是我的经历，我一直在用你的邮箱，作为回报，我的人生记忆就送给你做礼物，你可以留着，也可以拿去发表，当然我更期望后者，因为我想让世人都知道世界的真相，尽管我还没有触及到多少，也不知道触及了多少。如果拿去发表的话，你可以收获名利，当然也可能在没有发表之前，就会和我在天堂聚首。想收获必须有付出，你懂的。”
我最终把整个故事整理出来了，我觉得，能够读到这个故事，和他能够经历这样的人生一样，都是不会后悔的。
我叫柯菲，是国中央科技情报局的一名调查员，编号su0256。我们自称“sis”（scienceandtechnologytellinceservice），其实准确点该是csis，但是听起来不够酷，而其他部门就称我们为“科探”。我们的工作很有趣，就是以各种各样的身份和借口，到全世界各地去，调查全世界各地的新科技。当然，我们的工作也很无耻，因为说到底，我们是间谍，说透彻点，我们是小偷。我们不仅偷资料，偷东西，还偷人。如果你真是一位天才的话，那么我们也可以使用一切的手段，用你的梦想收买你那是小事，如果你是只有“爱国梦想”的人，那么我们也考虑会把你整个人带回国，如果还不合作，那么我们还会让你消失。当然，科探都是斯文人，那些见血的事，自然有别的部门去干。准确地说，我们只负责动脑筋，下决断的那部分工作。
为什么我要借助别人的邮箱写下这些东西呢？因为我不能记住任何东西，这不是命令，这是规则。
我很晕，很想作呕，勉强地被汤米扶了起来。
汤米笑着对我：“这可真是大任务啊。”
我摇了摇头，叹道：“这玩意难道不能进步点？”
“没办法，你想想，整整一个月的记忆，要消除掉。这都给你用了栅栏式删除了，如果全部删除，恐怕你得躺一个月。”
“一个月啊！”我深叹了一口气。这就是我们工作中最痛苦的一件事。因为我们是间谍，又只是人。我们的工作触及太多机密，而我们又不可能为国家牺牲一辈子，不结婚，不生孩子，至少我们也该退休，享受一下作为人的“简单幸福”。所以，为了我们能够顺利退休，我们必须在完成一项重要工作之后，清除记忆。
清除的方法很简单，就是在接受重要任务前，把你的大脑做一次备份，记录下那一刻1000多亿个脑细胞的联结状态，完成工作后，再根据大脑变化的部分，进行断开联结处理。
说具体点吧，人类一生下来就有1000亿以上个脑细胞。脑细胞的数量基本不变，而大脑成长的意义就在于大脑细胞联结不断增长，衰老终于联结不断减少；所以对于儿童，世界越来越丰富，对于老人，世界越来越贫乏。每个细胞都有多达10万个联结。在不到1/4秒的时间内，大脑中可以有几千万个甚至几亿个脑细胞聚集在一起组成一个极为短暂的工作组合。我们的记忆，一方面是记忆在脑细胞里，比如我、你这些具体的概念。然后，还需要联结，比如我“爱”你，这个“爱”就是一道联结，把我和你爱情的记忆联系起来。当然，一个月所增加的联结，是相当惊人的；可是把所有联结都清除干净既不可能，也不需要，只需要把部分脱离开就可以了。当然，现实的科技不是《黑衣人》中那样弄个手电筒给你来一下就行的。最开始，我们是用一种注射剂，通过注射一种病毒，模糊地伤害某一部分脑细胞，但是很难控制，所以现在给我们局里看门的那半傻子史诺比就是当年注射剂的受害者。虽然我们私下都叫他半傻子，但是我们都知道他曾经是最优秀的，几十年前，一个人硬是从苏联人那里把德国核计划给弄回来，整整二百多页的计划，可全是靠脑袋记回来的。可是立功之后，他就享受了sis历史上最大量的一剂针，结果就脑残了。所以，他的奖励，只是一声悲叹。
我们现在的方式比较“先进”，就是用物理方式，给大脑套个头罩，里面一大堆细小的电极，通过微电刺激，使得脑细胞“触突”，就是联结的“手”，收缩。当然，还是有很大的伤害，而且按照逻辑，应该是不可逆转的，长期有影响的伤害。当然，上头不会这样跟你说，他们会说这很安全，而且还说出一些看起来很可信的“好处”——提高大脑联结的效率，提高大脑记忆和思考的能力，这样我们会越来越聪明。但是，我们都是科探，我们都是最少有一两个博士学位的人，你说会相信吗？等我们退休的时候，估计我们也和史诺比差不多了。当然，更多的时候，我们和医疗部的同仁私下达成了协议，如果是比较大的记忆，就用栅栏式删除，也就是说脱离一半的联结，这样他们好向上头交差，我们也不至于傻得太快。
出了门，我还是晕。汤米请我喝一杯温纯水，这就是我们这里的饮料，唯一的饮料，毕竟这里不是cis（centraltellinceservice）总部，是sis总部。我们懂得太多关于健康的东西。我们就坐在单位的茶水厅，你一口我一口地喝着标准375c的纯水。当然为了保持这一温度，我们的杯子离开手后，桌子就会给它加适当的，少许的热。
汤米和我一样都是华裔，我祖先姓柯，他祖先姓汤，而且我们父母就给我们起了这样中西混合名。因为有很多的共同点，我们一进sis就成了好朋友。汤米是神经学博士，毕业后就被招到这里来，因为他在大学时代已经出版了一部专业著作，一早就被sis相中了，没读完博士就被挖过来了。sis条件那么好，没有什么年轻人能够拒绝的。当然，这条件，不是什么钱的问题，而是在这里可以接触全世界真正的科技，不是什么报纸上读到的科技新闻，而是货真价实的“机器”和“资料”。不过，当然，也有遗憾，我们是不可能去拿什么诺贝尔奖的，虽然大部分都是我们坑蒙拐骗来的，但