后世数学家虽然承认第5公设是正确的，但大家都觉得它不像是“公设”，更像是一条可以被证明的“命题”。因为我们一看就知道它并不简洁，而又好像能够凭借画个图（如图11）就可以清楚看出来，知道三角形内角和为180。的人，乍一看就会觉得这是可以证明的。但奇怪的是，经过了二千年的时间，耗尽了无数数学家的热情与心血都未能找到对第5公设的一个合理证明！当然这也又一次印证了哲学的巧妙：越简单的越困难。所以，到了现在我们也觉得欧几里得相当了不起，这的确必须是个公设。
奥妙之处，在于这里涉及的是直线，可以无限延长，而谁都无法到达无限去，比如两个内角的和无限接近180。的话，那么即使是在一平面上也是无限接近，却最终无法相交，可这样就不是相交于一点了。甚至，其中的一个关键点，三角形的内角和究竟是不是180。，还是一个大问题。180。是测量出来的，可不是证明出来的。高斯曾经找了三个山头，他认为很远了，然而测量的结果当然不是180。，因为测量是存在误差的，即使非常小。但是只要是非常小的差别，就不能明确是180。。这一点也看出了数学的抽象与严谨。
当然，无聊的事情不是没有好处，一些数学家，俄国的罗巴切夫斯基（1829年《论几何基础》）和匈牙利的波尔约（1832年《绝对几何学》），还包括高斯（去世后留下的手稿）就借助对第5公设的思考而找到了“非欧几何”。他们发现即使否定了第5公设，我们仍然可以得到一个没有矛盾的几何体系，而这个体系就是非欧几何。他们都是假定过线外一点有两条直线与所给的直线平行，得到了两种全新的几何：双曲几何（内角和小于180。）、椭圆几何（内角和大于180。）。而且它们和欧氏几何在我们通常的尺度下都无法辨别，现在还没有测量仪器可以辨别，在正常尺度下，三种几何的三角形内角和都接近于180。。
非欧几何的出现，给了我们很多的启发。张顺燕指出：“欧氏几何的诞生动摇了人们的真理观，使人们认识到数学只是一种思维的产物，不是客观世界的产物，同时又让人们看到三种几何，也就是说数学是逻辑的产物……从这三种几何可以看出，数学的的确确是同根异干，同干异枝，同枝异叶，每两个东西都是完全不一样的。[5]”而其实更关键的是，对根源的反思，正是创新的源泉。公理的建设就是数学的根的建设，最根本，最简单，也最重要。对于它们的理解和反思肯定会创造出更神奇的数学。现在，我们理解欧氏几何是一种中观的几何，他适用于我们的一般计算。不过涉及到宇宙宏观或者粒子微观世界，我们用的却是非欧几何。而这一点，恰好又告诉我们，公理和公设，随着人类思想和实践的进步，也会不断发展，而且借此又可以建设新的体系。这也是公理化思想的根本所在。
现在，不妨思考一个有趣的问题，为什么刚好是五个公理，五个公设呢？难道与中国“五行”对应？当然不是。我们知道单一的公理，是无法进行任何有效的计算推演的。虽然我们可以清楚地看到五大公理之间有着某种单向的联系，可是这些依然得靠规定，不然当年为什么不加上“等量乘以减等量，其积仍相等”“等量除以等量，其商仍相等”呢？而且我们现在也知道，其实严格地说还需要更多的公设，比如有人发现，《原本》中的第一卷第一个命题的推理，就出了问题：在一个已知有限直线上作一个等边三角形。（如图12）
设ab是已知有限直线那么，要求在线段ab上作一个等边三角形以a为心，且以ab为距离画圆bcd；[公设3]再以b为心，且以ba为距离画圆ace：[公设3]由两圆的交点c到a，b连线ca，cb。[公设1]因为，点a是圆cdb的圆心，ac等于ab。[定义15]又点b是圆cae的圆心，bc等于ba。
但是，已经证明了ca等于ab；所以线段ca，cb都等于ab。
而且等于同量的量彼此相等[公理1]三条线段ca，ab，bc彼此相等。
所以三角形abc是等边的，即在已知有限直线ab上作出了这个三角形。
这就是所要求作的。
以上这个方法，是运用标准的尺规作图，而且还是典范的运用个公理和公设进行证明。可是其中也有一个内容被忽略了，虽然这里作图规范，但其实还少了一个公设，就是分别由a和b为圆心，ab为距离所作的圆bcd和圆ace至少有一个交点c。也许我们都会认为，画出来就有啊，但是画出来有并不一定存在，它可能只是个偶然性而已，而缺乏绝对的必然性。这一点非常重要！就如第5公设一样，我们画再多的不平行线都可以成功，但是我们无法证明它，所以它必须是公设，而不是什么能够推导出来命题。天地日月皆有缺，《原本》的缺憾是什么？没有人能够说清楚到底“公理”有哪些？因为“公理”的存在，依赖的是我们人类对于世界的认知，而这一认知是个不断进步的过程。由此可见，五大公理和五大公设是比较和谐，比较优雅的一个数字，数学家对数字有点迷信也是自然的。太多了，显得罗嗦，太少了用起来又会不方便。而且这也只是代表了当时的优雅成果而已。
五大公理和五大公设的奥妙在于，凭借它们居然可以推演出整个几何学系统，而且显得那么无懈可击。最著名的例子要推英国哲学家霍布士（thobbes，1588～1679）。下面是欧布烈（jaubrey）精彩的描写：那时，霍布士已年过40岁，在一个偶然机会下，他遇见了几何学。他无意中在图书馆里看到欧氏《几何原本》，正好打开在第一册的第47个定理，即勾股定理。读了该定理后，他的第一个反应是“我的天啊，这怎么可能！”他研读其证明，发现要用到前面的定理，于是翻到前面读之，又要用到更前面的定理，如此不断地逆溯倒读，最后终于来到几何的源头，即公理。霍布士于是肯定了勾股定理的真确性，也爱上了几何学[6]。我们现在看起来都会感觉相当神奇。这一种体系反映出来的思维，又是和五行思维相同了。《孙子兵法o势篇》中说：“声不过五，五声之变。不可胜听也。色不过五，五色之变，不可胜观也。味不过五，五味之变不可胜尝也。”其实也就是这样的道理。
牛顿开始觉得欧几里得几何太过于简单，后来他发现了欧几里得的价值，不仅热心地向别人推荐它，还仿照《几何原本》的体系，从定义和定律出发，导出命题，再把结论和实验结果相比较，以公理化模式完成了《自然哲学的数学原理》。爱因斯坦也深受《几何原本》影响，他在《自述》中说，“在12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。至于不用证明就得承认公理，这件事并没有使我不安。如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明，那么我就完全心满意足了。[7]”这段话，可以让我们看到了爱因斯坦对公理意义的非凡理解。公理、公设、定义就好像是七巧板，运用它们可以组合成几乎一切的图形，而因为它们是大家接受的“真实”，所以组合而成的也是“真实”。而且这些真实可以超越我们的感官，是确切的必然的。正是因为他体会了这些，才有了他在狭义相对论和广义相对论中的成果，我们可以从他的思考过程中发现“公理化思想”是其思维的模式[8]。
吴文俊指出“东西方数学的异同，也就是现在欧美的数学跟东方数学（主要是古代的中国数学）有什么异同。我们学现代数学（也就是西方数学），主要内容是证明定理；而中国的古代数学根本不考虑定理不定理，没有这个概念，它的主要内容是解方程。我们着重解方程，解决各式各样的问题。[9]”中国数学曾经取得辉煌的成就，可是在近代却迟滞不前，关键一点就是中国缺乏这样的“公理体系”，也缺乏这样的“公理”思维，所以所有的收获都是零碎的，无法统一起来，也缺乏一种有效的统一和总结。
总而言之，欧几里得几何是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特征。而且公理化思想已经成为科学的思维基础，对于各个学科的系统的建立，对于各个学科的发展都有着相当重要的意义。
12定义的反思——完美定义就是不定义其实在《几何原本》中一开始列出来的是定义，不是公理。对于定义的反思，也是件有趣的事情。与公理公设的数量少而有限不同，欧几里得的定义（按十三卷本），总共有132个。这么多的定义，肯定容易出问题。
首先，是对于定义存在的怀疑，有数学家指出：《原本》第一卷就首先给出23个定义，前面7个定义（1点是没有部分的。2线只有长度而没有宽度。3一线的两端是点。4直线是它上面的点一样地平放着的线。5面只有长度和宽度。6面的边缘是线。7平面是它上面的线一样地平放着的面）实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到。不过，这一点其实不重要，因为欧几里得给出这些定义，很可能只是想要明确表达自己的一些概念理解。
其次，是对于定义本身的怀疑。克莱因批评说：“在这部著作中，欧几里得当时所给出的这些术语，并不是物质实体本身，而是从物质实体中抽象出来的概念。他说，点，就是不包括任何部分的东西。欧几里得在下定义方面，走向了不必要，不明智的极端。一个具有逻辑结构、自足的体系，必须从某一个开始。不能指望对每一个使用的概念都给出定义，因为下定义就是用其他的概念去描述一个概念，而前者又必须通过其他的概念来描述。很明显，如果要使这个过程不至于循环……[1]”克莱因的评价，其实说的和“公理”的“先天”本质差不多，定义尤其是具有原始意义的定义，必须是空缺的，不需具体的；而且这些不规范的定义没有影响研究，其实也揭示了这些定义的无意义。所以希尔伯特（davidhilbert，1862～1943）1899年发表著名的《几何基础》一书。引入了“点”“线”“面”“通过”“在……之间”“相等”6个不加解释的定义。被称为对《几何原理》工作的最好完善。
再次，克莱因认为“并非所有的概念都能在一个独立的系统中得到定义。所有的概念都源于一定的物质实体，并且代表着这些物质实体。但是，物质的意义并不能给这种正式定义以任何帮助，因为它们并不是数学的内容。令人惊奇的是，几何学中的一些无法定义的概念，并没有给研究带来麻烦。[1]”他指出了物质与定义之间一种微妙的关系，简单地说就是物质（现实世界）给我们带来定义，可是它始终无法与数学的定义直接划上等号。理解这一点很重要。比如彭罗斯和霍金一起发表“奇点定理”的报道，非常简单地将其结果概括为“宇宙诞生自一个奇点”，然而，彭罗斯本人称“奇点这个词给人的印象好像本身暗示了什么，其实那不过是‘这个数学模型用在这里不很合适’的意思。”他还说，“太遗憾了。面向大众的解释的确常常就是这样写的……不过，我的真正意思其实是‘需要有新的理论’。[10]”如何理解彭罗斯这些话呢？按照目前的“大爆炸理论”，必须存在一个“奇点”，而这个概念超出了人类的理解，我们觉得这是不可能的，甚至连最纯粹的数学都无法与这样的概念相对应。可是事实又多次证明，宇宙的真相总是超乎人类狭隘的“常识”。如彭罗斯所言，这代表新的理论来解释。
最后，有人认为欧几里德的定义含混不清。其实，“含混不清”是表述与理解必然存在的矛盾。欧几里德的表述，在几千年前，和中国的文言文差不多，限制于文化传播工具，不可能详细，所以我们现在来看必然有这样的问题。而且，定义体现着人类对于物质世界认知的进步和发展，所以总是有其时效性。比如，对于“时间”“空间”“零”这些基本的概念，到现在依然在不断地进行深入，而优秀的数学家、自然科学家总是抓住了关键，把握到被别人忽略的属性，创造出新的“定义”，牛顿理解“线是移动的点留下的轨迹，面是移动的线形成的”，如果不这么思考，那么只有位置，没有大小的“点”连起来就可以是“线”么？无数的没有宽度、只有长度的“线”，可以连接成“面”么？
可见“定义”，尤其是基本的定义，如果能够作到“若有若无”，让大家都能够体会“此中有真意，欲辨已忘言”，才是最好的。而完美的定义，只能是不定义。更重要的是，定义是研究的基础，它体现着极大的思想性和关键性。
13具体方法——几近于道留存的欧几里得资料很少，我们无法知道他工作的具体过程，只知道《几何原本》是集大成之作，所以，我们只能从《几何原本》中具体的证明过程，探讨他的思维方法。
欧几里得运用的方法不多，但是运用自如了，又好像可以解决所有问题。而且仔细思考就会发现，《几何原本》几乎涵盖了数学思维的方法，可以称“大盈若冲，其用不穷”，几近乎道。
131综合法与分析法——基本的思维方法有人称欧几里得提出综合法和分析法。这样的说法是很不牢靠的，虽然这两种方法是数学的基本方法，而且很自然，也很必然地可以在欧几里得的证明中找到这样的思路。但欧几里得没有也不可能明确提出这样的概念和说法。我们只能妥帖地称：欧几里得示范地规定了几何证明的方法，包括综合法和分析法。
综合法和分析法，是最简单最基本，也最通俗的思维方式。证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的公理、定义、命题，逐步推演，直到要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。而很明显这是我们正常的思维顺序，即“由因导果”。相反地，先从结论出发，然后追究它成立的原因，再看这些原因成立又需要什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法，也即“执果索因”。欧几里得一般的证明过程的描述，都可以让我们看到综合法的运用；当然体现综合法的表述，很可能思考过程却是采用了相反的分析法，就像我们解题一样，可以从结论逆推，然后按顺序书写答案。
具体而言，关键只在于以什么为先以什么为后。我们一般思考问题也是如此，1912年蔡元培担任教育部部长，刚上任他就和朋友兼搭档——次长范源濂有了一个争论：范认为小学没办好，怎么能办好中学，中学没办好，怎么能办好大学，所以教育的重中之重就是整顿小学；蔡则认为没办好大学，中学师资从哪里来？没办好中学，小学的师资哪里来？所以应当整顿大学。[11]争论的结果当然是同时进行。这就体现了两种处理问题的思维方式，一是自上而下，一是自下而上。而且有这两种，当然就必然有第三种，从两头到中间，而有第三种就有第四种：从中间到两头。
比如，“全球变暖”引发科学家对于二氧化碳的研究，要研究地球二氧化碳的变化是个很困难的过程。为了对更久远的二氧化碳水平有所认识，研究人员不得不依靠间接的方法：查看化石叶片中的气孔密度。植物需要让二氧化碳进入气孔，也通过这些气孔失去水分，植物通常没有不必要的东西。美国康涅狄格州米德尔顿卫斯理大学的丹纳o罗耶（danaroyer）说：“人们观察到，在二氧化碳增加时，很多植物的气孔密度减少，这趋向于是一种物种特异性反应。”[12]这一方法，其实就是从两头推中间，这在具体的解决问题中更常见，也更能体现出思维的能力。我们总是存在“已知”和“想知”，就是不能一步步顺序推理，所以必须找到中间的某个点，以此连接前后，形成明确的科学逻辑过程。就如这一成功案例，我们知道现在的二氧化碳情况，但是对于过去我们不清楚，想知道。这里没有一个必然的推理过?br />